La afinación pitagórica. El origen de la escala heptatónica.

La afinación pitagórica. El origen de la escala heptatónica.

        ¿Alguna vez os habéis preguntado por qué son así las teclas de un piano? El teclado sigue un patrón de 7 teclas blancas entre las que se intercalan 5 negras: un total de 12 teclas por octava. 

         Las teclas blancas corresponden a las notas de la escala natural (do, re, mi, fa, sol, la, si), las teclas negras son las notas alteradas: do#, mib, fa#, sol#, sib (# se lee sostenido y b se lee bemol).

          Entre cada tecla y la siguiente, sea blanca o negra, hay siempre el mismo intervalo: un semitono (ST), la mitad de un tono (T).

 

         Pero entonces, ¿por qué no están todas las teclas al mismo nivel?, ¿por qué algunas notas se consideran “naturales” y otras “alteradas”?, ¿por qué los tonos y semitonos se distribuyen de esa manera y no otra en la escala natural (T, T, ST, T, T, T, ST)?, ¿por qué tiene precisamente 7 notas?

          La respuesta, de nuevo, está relacionada con Pitágoras.

       La afinación por Quintas

         Ya vimos que la 5ª de cualquier sonido se obtiene al multiplicar su frecuencia por 3. Sin embargo, así obtenemos su quinta pero perteneciente a una octava más aguda. Si ahora la dividimos entre dos, obtendríamos ese mismo sonido más grave, perteneciente a la misma octava de partida, en una proporción de 3/2 respecto a la fundamental.

         Ésta es la proporción que Pitágoras tomó como base de su sistema musical. Para reconstruir este sistema, asignaremos razonadamente a cada nota de la escala natural una proporción de valor entre 1 y 2. 

           Partiremos de la nota do y supondremos, nuevamente, que su frecuencia es 1. A partir de ahí, la multiplicaremos (salvo para hallar fa, que la dividiremos) sucesivamente por 3/2 para obtener cada nuevo sonido de la escala natural. 

           La mayoría de estos sonidos aparecerán en escalas más agudas (o más grave en fa), pero para obtener estos sonidos en la escala original no tenemos más que bajarles (subirle en fa) una o varias veces de octava, esto es: dividir (multiplicar en fa) su frecuencia por dos.

          Todos los cálculos están hechos a continuación, en negrita aparecen los sonidos en la escala original, el apóstrofe(s) alto indica(n) que el sonido es de una escala más aguda y el apóstrofe bajo indica que el sonido es de una escala más grave. 

do (1) x 3/2 = sol (3/2) 

sol (3/2) x 3/2 = re’ (9/4) => re’ (9/4) : 2 = re (9/8) 

re’ (9/4) x 3/2 = la’ (27/8) => la’ (27/8) : 2 = la (27/16) 

la’ (27/8) x 3/2 = mi’’ (81/16) => mi’’ (81/16) : 2 = mi’ (81/32) => mi’ (81/32) : 2 =mi (81/64) 

mi’’ (81/16) x 3/2 = si’’ (243/32) => si’’ (243/32) : 2 = si’ (243/64) => si’ (243/64) : 2 = si (243/128) 

do (1) x 2 = do’ (2) 

do (1) : 3/2 = fa, (⅔) => fa, (2/3) x 2 = fa (4/3)

Si representamos estos ocho valores en un gráfico podemos observar varias particularidades de la escala:

 

         Al unir los puntos vemos que no están todos alineados, dos de los segmentos son distintos a los otros. En el mismo gráfico se muestran también todos los cocientes entre dos valores consecutivos.

           En los dos segmentos distintos el cociente es: 256/243, que resulta ser mucho menor que el de los seis restantes: 9/8. Vemos entonces que existen cinco intervalos de mayor tamaño (un tono) y dos claramente más pequeños: entre el mi y el fa, y entre el si y el do agudo, aproximadamente de mitad de tamaño (un semitono) que los más grandes. 

          Una solución natural de este “desajuste” sería crear cinco “nuevas” notas intermedias en los intervalos do-re, re-mi, fa-sol, sol-la y la-si, para conseguir “equilibrarlos”. Este es el origen de las cinco teclas negras del piano. 

         Si observamos ahora el teclado del comienzo, vemos que entre las teclas blancas correspondientes al mi y el fa, y entre el si y el do agudo no hay ninguna tecla negra, esos son los dos únicos intervalos de semitono que encontramos en la escala natural. De esta manera, en el sistema musical occidental, cada octava queda dividida en 12 semitonos que juntos forman la escala cromática. Estos son los 12 sonidos básicos con los que está escrita el 90% de la música que conocemos y solemos escuchar, desde el Medievo hasta nuestros días. 

          Curiosamente, el sistema no lo inventó Pitágoras, surgió en Europa en la Baja Edad Media, pero como es consecuencia de la idea de afinar los intervalos por quintas, seguimos hablando de afinación pitagórica. 

           La división en 12 sonidos, por tanto, no es una cuestión trivial ni arbitraria: parte de una base previa, con sus ventajas e inconvenientes. Sin tanto éxito, otros músicos a lo largo de toda la historia han propuesto sistemas diferentes, con una octava dividida en más sonidos.